Função dispêndio e dualidade

• Disciplina: 23MICI - Microeconomia I

• Docente: Paulo Victor da Fonseca

• Contato: paulo.fonseca@udesc.br

Problema dual do consumidor

• Até agora focamos no problema primal do consumidor: dados os preços de mercado e a renda exógena, quais são as quantidades de cada bem escolhidas que maximizam sua utilidade

• Muitos dos problemas de maximização com restrições possuem um problema dual associado de minimização com restrições

• Para o caso específico de maximização de utilidade sujeito à restrição orçamentária, o problema dual de minimização associado consiste em alocar a renda de um indivíduo de maneira a atingir um nível específico de utilidade com o menor gasto possível

Problema dual da minimização de dispêndio Fonte: Nicholson e Snyder (2019)

• O dispêndio (ou gasto) do consumidor com a cesta de bens $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ é dado por:

$$E = p_1 x_1 + p_2 x_2 + \dots + p_n x_n = \sum_{i=1}^n p_i x_i$$

• O problema dual de minimização de dispêndio do consumidor é, então, dado por:

$$\begin{eqnarray}&\min_{x_1, \dots, x_n}& p_1 x_1 + p_2 x_2 + \dots + p_n x_n \tag{1}\label{aula6_eq1}\\ &\text{s.a. }& U(x_1, x_2, \dots, x_n) = \bar{U}\end{eqnarray}$$

• Ou seja, o consumidor minimiza seus gastos de forma a manter um certo nível de utilidade $\bar{U}$ que deseja alcançar

• Para os casos de pontos ótimos interiores, podemos resolver o problema de minimização utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange

• O Lagrangeano associado ao problema ($\ref{aula6_eq1}$) é dado por:

$$\mathcal{L} = p_1 x_1 + \dots + p_n x_n + \mu\left[\bar{U} - U(x_1, x_2, \dots, x_n)\right]$$

• As condições necessárias de primeira ordem associadas são dadas pelo seguinte sistema de $n + 1$ equações simultâneas em $n + 1$ variáveis:

$$\begin{eqnarray} p_1 &=& \mu^* \frac{\partial U}{\partial x_1}(x_1^*, x_2^*, \dots, x_n^*) \\ p_2 &=& \mu^* \frac{\partial U}{\partial x_2}(x_1^*, x_2^*, \dots, x_n^*) \\ &\vdots \tag{2}\label{aula6_eq2}& \\ p_n &=& \mu^* \frac{\partial U}{\partial x_n}(x_1^*, x_2^*, \dots, x_n^*) \\ \bar{U} &=& U(x_1^*, x_2^*, \dots, x_n^*)\end{eqnarray}$$

• Note que as $n$ primeiras CPOs são idênticas às CPOs do problema primal do consumidor de maximização de utilidade

• A condição de que a TMS entre dois bens iguale a razão entre seus preços de mercado permanece válida

• Portanto, a solução interior do problema dual do consumidor também satifaz a condição de tangência entre a curva de indiferença associada à utilidade $\bar{U}$ e a reta de dispêndio

• Apenas a última CPO é diferente, pois nos diz que o consumidor deseja consumir a cesta de consumo ótima que garanta um nível de utilidade igual à $\bar{U}$

Demandas compensadas (ou Hicksianas)

• As quantidades ótimas consumidas $x_1^*, \dots, x_n^*$ neste problema são funções dos preços dos bens $(p_1, \dots, p_n)$ e do nível de utilidade desejado $\bar{U}$

• Caso algum dos preços se altere, ou a meta de utilidade desejada, a cesta de consumos ótima também irá ser alterada

• As funções demanda do problema dual do consumidor são funções dos preços e do nível de utilidade:

$$\begin{eqnarray}x_1^h &=& x_1^h(p_1, p_2, \dots, p_n, \bar{U}) \\ x_2^h &=& x_2^h(p_1, p_2, \dots, p_n, \bar{U}) \\ &\vdots& \tag{4}\label{aula6_eq4}\\ x_n^h &=& x_n^h(p_1, p_2, \dots, p_n, \bar{U})\end{eqnarray}$$

• Essas funções de demanda são denominadas demandas Hicksianas (ou demandas compensadas)

• As funções de demandas Hicksianas também são chamadas demandas compensadas pois elas "compensam" o consumidor de modo a mantê-lo sempre na mesma curva de indiferença $\bar{U}$

Demandas Hicksianas ou compensadas Fonte: Notas de aula - José Guilherme de Lara Resende (UnB)

• A demanda Hicksiana não é diretamente observável, pois depende do nível de utilidade $\bar{U}$

• A demanda Marshalliana, por sua vez, é diretamente observável pois depende apenas dos preços unitários dos bens e da renda - variáveis mensuráveis

• Substituindo as funções de demanda Hicksianas no gasto do consumidor, obtemos a função dispêndio que definimos anteriormente:

$$E(p_1, p_2, \dots, p_n, \bar{U}) = p_1x_1^h(p_1, \dots, p_n, \bar{U}) + \dots + p_nx_n^h(p_1, \dots, p_n, \bar{U})$$

• A função dispêndio mostra o gasto mínimo necessário para se alcançar o nível de utilidade $\bar{U}$, aos preços $\mathbf{p} = (p_1, \dots, p_n)$ de mercado

• O multiplicador de Lagrange, $\mu$, representa o custo marginal incorrido para se obter uma unidade adicional de utilidade

• Existe uma relação entre o multiplicador de Lagrange associado ao problema dual, $\mu$, com o multiplicador de Lagrange $\lambda$ do problema primal:

$$\left(\mu = \frac{p_i}{U_i}\right) \wedge \left(\lambda = \frac{U_i}{p_i}\right) \Rightarrow \mu = \frac{1}{\lambda}$$

• Portanto, o multiplicador de Lagrange associado ao problema de minimização é o inverso do multiplicador de Lagrange do problema de maximização

Exercícios

Função Cobb-Douglas. Dados $U(x,y) = x^{0,5}y^{0,5}$ e $I = p_x x + p_yy$, a função utilidade indireta é dada por:

$$V(p_x, p_y, I) = \frac{I}{2p_x^{0,5}p_y^{0,5}}$$

1. Usando o resultado de que a função dispêndio é o inverso da utilidade indireta, calcule a função dispêndio.

2. Mostre que este resultado é o mesmo obtido quando resolvemos o problema de minimização restrito.

3. Mostre, também, que para $p_x = 1, p_y = 4$ e uma meta de utilidade $\bar{U} = 2$, o nível mínimo de dispêndio é $I = 8$.

4. Se o preço do bem $y$ aumentar de $4 para $5, qual a compensação monetária o indivíduo necessita para manter o mesmo nível de utilidade?

Bens complementares. Dada a função utilidade $U(x,y) = \min\{x, 4y\}$, podemos calcular a função utilidade indireta:

$$V(p_x, p_y, I) = \frac{I}{p_x + 0,25p_y}$$

1. Usando o resultado de que a função dispêndio é o inverso da utilidade indireta, calcule a função dispêndio.

2. Dados $p_x = 1, p_y = 4$ e uma meta de utilidade $\bar{U} = 4$, obtemos o dispêndio total de $8 como no exercício anterior.

3. Neste caso, se o preço do bem $y$ aumentar de $4 para $5, os gastos deste consumidor deveriam aumentar em quanto para manter o mesmo nível de utilidade?

Propriedades da função dispêndio

• Isto quer dizer que, se todos os preços unitários dos bens dobrarem, então, a renda dispendida também deve dobrar para que o consumidor permaneça na mesma curva de indiferença

Função Cobb-Douglas. Vimos que a função dispêndio associada a uma função utilidade do tipo Cobb-Douglas $U(x,y) = x^{0,5}y^{0,5}$ é dada por:

$$E(p_x, p_y, U) = 2p_x^{0,5}p_y^{0,5}U$$

Mostre que esta função é homogênea de grau 1 nos preços

Bens complementares. Vimos que a função dispêndio associada a uma função utilidade de proporções fixas $U(x,y) = \min\{x, 4y\}$ é dada por:

$$E(p_x, p_y, U) = (p_x + 0,25p_y)U$$

Mostre que esta função é homogênea de grau 1

• Como a função dispêndio nos diz o gasto mínimo necessário para que o consumidor atinja um nível específico de utildiade, um aumento de preços em um bem qualquer deve aumentar (ou ao menos não diminuir) esse gasto mínimo

• Suponha que o preço de um bem aumente e todos os demais permaneçam constantes

• Seja $A$ a cesta de consumo adquirida antes do aumento de preços, e $B$ a cesta de consumo adquirida após o aumento depreços

• Claramente, a cesta $B$ custa mais após o aumento de preços do que custava anteriormente

• No entanto, $B$ antes do aumento de preços custava mais que a cesta $A$ - pois $A$ é a cesta ótima que minimiza o dispêndio do consumidor para um dado nível de utilidade

• Portanto, a cesta de consumo $A$ custa menos que a cesta de consumo $B$ antes do aumento de preços que, por sua vez, custa menos que a cesta de consumo $B$ após o aumento de preços

• Logo, a cesta de consumo escolhida após o aumento de preços $B$ custa mais que a cesta escolhida antes do aumento de preços $A$

• Ou seja, a função dispêndio é não-decrescente nos preços

Função dispêndio: concavidade nos preços Fonte: Nicholson e Snyder (2019)

• A Figura acima mostra a função dispêndio de um consumidor em função de um único preço, $p_1$

• Ao preço inicial, $p_1^*$, o gasto mínimo deste indivíduo é dado por $E(p_1^*, \dots)$

• Considere, agora, preços maiores ou mais baixos que $p_1^*$

• Se o indivíduo continuasse adquirindo a mesma cesta de consumo, seus gastos aumentariam ou diminuiriam linearmente com as mudanças de preços

• Isso corresponde à função pseudodispêndio - ou dispêndio passivo - $E^{\text{pseudo}}$ na figura

• Esta reta mostra o nível de gastos que permitiria a aquisição da cesta de consumo original independemente da variação de preços

• Se, no entanto, o indivíduo ajustar sua compra à medida que $p_1$ muda, sabemos que (em decorrência da minimização de gastos) os gastos reais seriam menores que esse gasto passivo

• Portanto, a função dispêndio real, $E$, ficará abaixo de $E^{\text{pseudo}}$ em todos os pontos (exceto no próprio $p_1^*$) e, portanto, a função será côncava

• Um resultado da concavidade nos preços é que:

$$f_{ii} = \frac{\partial^2 E}{\partial p_i^2} \leq 0$$

precisamente o que observamos na Figura

📚 Bibliografia

NICHOLSON, W.; SNYDER C. Teoria microeconômica: Princípios básicos e aplicações. Cengage Learning Brasil, 2019

VARIAN, H. R. Microeconomia: uma abordagem moderna. 9.ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2015